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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 yB.AVh(  
J2sn;cJMd  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. _kjJ"  
['6I{Ke  
　　1、三角函数本质： rnIYP  
2ATEv%  
　　三角函数的本质来源于定义 {tP,oD  
1`oH4%NK  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 w$B>45Fb  
X9Z%nAs  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 1=;?p='x  
d%D  1rU1  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： J9=j+yt]WV  
0Q .^zJU8  
　　推导： R#cqjtQ3  
jiRWlIV  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 v B;6X jH  
<3Mp  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 0D x#\B3  
HjU >nH  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Ls/-mJ51U  
ZY:JF  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 =LzLh"ju,  
>b'A8Rw/  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） t8Ny`Tr!aJ  
gXE".P&XYJ  
　　[1] ]z-*JXvxhc  
<SKW8WT#  
　　两角和公式 Y T b 4Co$  
ir{?*Tr  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB bB 7Zl)f!  
S9v_# 3  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Pp$\Rg  
1R=6s&9\  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB %s}6qB.  
C<LJxJ#Cd  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB | VW1S  
~_1NH03mj(  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) eS'Qq|k F  
R["25,  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) $0wY]gqGnj  
teDr^ w&s  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  t OG O S  
oA. P 9L  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) y,BzdMm  
U@5b/>  
倍角公式 a$u&1A2  
"N$i==B1  
　　Sin2A=2SinA•CosA {CiRd _]U  
&&0<q) Y,  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 5sKQ;.]  
f+yp&av  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ,M>MFS.[V  
+n7f?<"  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） c&i6bw 3  
hidbQMd  
三倍角公式 go*G?1  
HD]1Ukq(  
　　 xf(}6?bN  
vk\-F ')  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Z%KSc=y[  
=S5P5Esv5  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) @j9%M;Y,  
.;z*G[+S*k  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 2*T:kL  
F6tG$g/   
三倍角公式推导 i`Nn kQ  
< 0~>W  
　　sin3a .@.4d}c  
@%]K {7GR  
　　=sin(2a+a) Lm/z{\  
tRUk3c  
　　=sin2acosa+cos2asina (osC+uA#  
KR>k&WpA  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina G{fLkxZIp  
[/ ^)3sQ  
　　=3sina-4sin³a 1}6;kN'c  
q,U9[W  
　　cos3a :C4eEBja  
U 8?`r^H  
　　=cos(2a+a) oT#0FU!t~  
ZH}[0mKT  
　　=cos2acosa-sin2asina 8z+<W~HqK  
~)44jyWMK  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa z%7a{D$  
E9LQ:pD"X|  
　　=4cos³a-3cosa >fV>&xp  
yd~eIob3V  
　　sin3a=3sina-4sin³a SRLWb?O3  
H^!n Lk\  
　　=4sina(3/4-sin²a) @futI&X?q  
w%TO~!|Z:  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] QIM]<c,-/  
[g^zg=Rl:C  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) rc}r9@j  
yGl$,D[  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 3!T7t^0L  
X:DBD5N  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] a6,+AjeULY  
z6qx1Y%1  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Yp}ROc_&G  
[B4,:S+IRE  
　　cos3a=4cos³a-3cosa v{:|KL0L  
dY>Qd1A.  
　　=4cosa(cos²a-3/4) g[a<X e,  
}oZQE~y0  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 184 1y,x  
@d] |1  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 7YL 4A{  
"6-(L+*{  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) {8Jc7dv9  
;hD:~+l M  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Y7V:Yas3  
E@g[`UKfD  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) WKk]b9C  
O<Iw:%V(  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] vE c+D_E@  
;~-Qt@j  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] w @6FibW>  
X^I`M6n  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) xAYHkRYT)  
-j7RMb:  
　　上述两式相比可得 yqCs|\  
'ZUoxUD!5  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) hyS~XWeP  
;2qK]I#x  
半角公式 i^)TI?t\{  
<%eCzA1d  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); yIxQq0 y  
|K&wG  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. tc`SmZ,  
D _ M[rt#  
和差化积 + N3OD  
md$9!Itbw  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sL}33ZV+@  
'Z.(,Fm|/  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] jRCS$X8]  
&nqPrH,K5I  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] m>ie+RJ-  
.F8F@,  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] }KvN9B]Dj  
#Z'N UQ  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) H+K -fTR  
(. Vb#  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) zcalW :  
l WExe#l~  
积化和差 I+F|[  
W}CLorS  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] JIN^&v)</  
/ )te')'h  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] \x HSvPN  
/~+ry<`  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] WH-uep'm  
3%H8I  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] AafC2d708  
?#z]I:  
诱导公式 27[4XF0A  
W8u(QnUJp  
　　sin(-α) = -sinα $9n  
';4:y q   
　　cos(-α) = cosα #7<39D<  
6=oaH2S Q>  
　　sin(π/2-α) = cosα 0w&]`  
"6nW>EQ{c  
　　cos(π/2-α) = sinα w{ZOyAYA!  
a\= ~qt;jx  
　　sin(π/2+α) = cosα N]z\80DYf  
iq\-?ha  
　　cos(π/2+α) = -sinα "tC4w+'  
No .BRn  
　　sin(π-α) = sinα 8z<9PbHR;  
7d 8&mQ+  
　　cos(π-α) = -cosα LIH m$i*  
ql BUF+y  
　　sin(π+α) = -sinα 3xkuM1#?  
.Ps y`~  
　　cos(π+α) = -cosα Q3JD 7H W  
4fA%Khv  
　　tanA= sinA/cosA W}Y$A"Xx  
4\>_.p])N0  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα , hf>l#"T  
C0 '*{  
　　tan（π/2－α）＝cotα %ZHUv]lS  
OGzz$yfj7  
　　tan（π－α）＝－tanα }  K#OE38  
9f4 k  
　　tan（π＋α）＝tanα aHcu|@q'7  
x}E5 Pg  
万能公式 Q0AO|OKi  
RP-O3Nb|+  
　　 .I<G)$;!-  
;zHU{'IUN  
其它公式 ePfP#w66  
F_COqw,Wt  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 -F#3ggJtL  
7n*"Fg+T.  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 O+5un[LZ  
}UDaJ#iKq  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 U4lR#)d c  
`Dc.T5ke  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 k(HwT+\*py  
lYwZ4\MP  
　　对于任意非直角三角形,总有 }=PyVT ><  
T[ GN]0_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %7l\tS4/  
1mCv0\k2qJ  
　　证: 2KYqPc:  
NXz_02B~  
　　A+B=π-C M7NP 4X`\  
X M LB`<AA  
　　tan(A+B)=tan(π-C) U6lS YD@%  
zm!.3M ~zO  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) {[L{LMvQh  
wOT 'NU5  
　　整理可得 BQ\j7qge>^  
(QvP{6Ti8  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [MGk_PkL  
x<sHF'[  
　　得证 7e*qv7_'  
)X/dWHE4T(  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 O/Fg?('  
L2X!-WW $  
其他非重点三角函数 2(J;Q=/%IF  
A}E <f?J  
　　csc(a) = 1/sin(a) C+D\ iDB?  
LM$)o}z  
　　sec(a) = 1/cos(a) a8CT)rSm  
S .>uJFy1i  
　　 Tu0~8mf%,  
7w}`WH~p  
双曲函数 XrP) >s>  
f~XfB%sn)  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ?+VQme4  
_MV:t.!c1  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 +>hiv  
~Z|~Z;Db  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) "hcU=U,c  
PF&-m'  
　　公式一： scH=- lK  
MaCG*u~  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： n,quoPHva  
wgW05W}$  
　　sin（2kπ＋α）= sinα {uTQ>%-  
y?^b#}%  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 4o JqQUe  
3SCZ% reP  
　　tan（kπ＋α）= tanα &|*K;0Y+  
q[eb1I=d  
　　cot（kπ＋α）= cotα FB`u|0=c  
})]QS@e-  
　　公式二： ..-0"5k/X  
g jfKL/_v  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： +?7IHm9IO#  
0-iU!""  
　　sin（π＋α）= -sinα mY {7n0  
*Q0SEc  
　　cos（π＋α）= -cosα Z('W (@ G  
f-P hAH-0a  
　　tan（π＋α）= tanα zi| b"lO  
3$H16N  
　　cot（π＋α）= cotα q#?$u`!  
MG VWLGF  
　　公式三： F2xZZ4}  
@>qOFTh 2  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： !hb*mjdf%  
a4MBt  4B  
　　sin（-α）= -sinα (C_S    
P1&e#W<|R  
　　cos（-α）= cosα gVav{'  
)gWKx2k  
　　tan（-α）= -tanα R|`3sR]  
$HQ!B|\X)  
　　cot（-α）= -cotα pk +f`  
#RX.I D(  
　　公式四： ^]EYN6w'  
3P!s%:lZ  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： <>=kCEMAf>  
Wb?'iMp+  
　　sin（π-α）= sinα XPE/{f"  
pPRT  
　　cos（π-α）= -cosα $i$E=z"  
F^rO-SXp  
　　tan（π-α）= -tanα ?C.c__p`/  
jJt^IV6cdv  
　　cot（π-α）= -cotα  jrHUV+  
CtL\HU`E  
　　公式五： 0z9yid]o  
)cc{ rY%  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： .c1:U>B,x  
m{QU*>w,  
　　sin（2π-α）= -sinα TD6-vjk,  
cG`nUs<  
　　cos（2π-α）= cosα #y&vmX!Y*  
PgxT}G'v  
　　tan（2π-α）= -tanα mhtbp3= 5  
:ik{IeC"  
　　cot（2π-α）= -cotα Q i7xN/0  
{6m)5[8#  
　　公式六： d _[4%C  
P9\Nc^d:qj  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Yn^OB!tV  
iyECg  
　　sin（π/2+α）= cosα #.8R6/7  
v^' U}Wf-  
　　cos（π/2+α）= -sinα I/e{ 7o  
DC _VzW  
　　tan（π/2+α）= -cotα qG&d  Z  
1=6rCt  
　　cot（π/2+α）= -tanα dl3IZ2_Oh{  
U q7!a+  
　　sin（π/2-α）= cosα 3Sao6 U!  
6,M-!y*n M  
　　cos（π/2-α）= sinα dt}C[$  
ZREWnYuX>  
　　tan（π/2-α）= cotα gy+$o*aV  
Y9MX+d_fs  
　　cot（π/2-α）= tanα XH8g;3z M[  
&$Olp;  
　　sin（3π/2+α）= -cosα X N9?,Z\  
V?iGLS  
　　cos（3π/2+α）= sinα KnU!h}r  
pew}mJ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα X %9Re  
 pRZAn^  
　　cot（3π/2+α）= -tanα DrXRC?&6  
HS'fBYrbx  
　　sin（3π/2-α）= -cosα V1g%dM(  
"DjT`E;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα *uM%D >  
>*P,[g/R  
　　tan（3π/2-α）= cotα P RbS Y  
O1ZU:;z0|z  
　　cot（3π/2-α）= tanα oK |<}  
k)XiU,lEe  
　　(以上k∈Z) 2 v?(\sH  
yj3{ `1,  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 caN8E33  
`\L=$_F *  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 2SvYFKc  
NPjs\4!w'G  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } NxtQV**.x  
@M%Rr 1  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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