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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 99EAF X  
Ir(Bnq  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. et8,f3  
!@vr4h  
　　1、三角函数本质： `pJ@r5m1  
BUD{Vff?  
　　三角函数的本质来源于定义 Ah\@iHw  
cQF8VgW7 1  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 '`b(gnTf`  
4wFYbdw  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 (b^~>6A1j  
cHvNORilW  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： }K*|fT&1DK  
G=/V l  
　　推导： +[tqDB98  
6V$~'F  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 a8}TB=K.  
?NFgE  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Kd#Sa p  
yA0:jH\&K.  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) wNhP+/D  
5y\~O%l  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 l`5[A]lce  
q \ 4mJ)  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 3LG)X^r,  
ds0K R u  
　　[1] -{7hJFl  
j)>|p<NT  
　　两角和公式 Bnt(v-  
oJ/nFP$O_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB pwB:LG  
]BAu ,e  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Zsr'@hJQ  
G mf&}  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB rpCbXseNB  
x/yae= A  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB hh{T3w  
oeW6<8Y  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) {)1 0[E{]  
$WL_V@ [  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) < w iZY1G  
]kqHuCJ  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  tJ`4Og-;  
W`1|tZ[]HI  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Z+}YL1hB  
*-C]8N<#  
倍角公式 :,ZpRIBMN  
={Ub &J  
　　Sin2A=2SinA•CosA *3G[XShZu  
IKo"~d\ZwC  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 p[}9>72YP  
Z`t-pG  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） =Z5K\ g'B  
1]ukSS  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） <s`6sd.^  
/zK|_ gO+d  
三倍角公式 ^69vy'Oj  
424Cfrx3w  
　　 u`+& r  
[p%J `daV  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) [xg9ilW  
'4:wKamb  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) c. 5M"U1U  
X m D^vdX  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) %~:RGm:4  
%F]%sP.  
三倍角公式推导 ]|+1~}abr  
d4RF=x  
　　sin3a *,_<AlzFqH  
HKjbQ h  
　　=sin(2a+a) -v@v~_AK  
@C+_1:  
　　=sin2acosa+cos2asina {$: xRe8  
nPwd{;l\a  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina kXbsoLA  
$YBR1{  
　　=3sina-4sin³a Up8G'[pi7x  
o6t<@`3  
　　cos3a oWn}t7*K  
%hA>LXLT  
　　=cos(2a+a) ipx@#:  
~o_o;i  
　　=cos2acosa-sin2asina "a460< @}  
4I IMp*aW  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa "iavI #!  
IUYvVv}#-  
　　=4cos³a-3cosa 3KHj+P}  
}J^-N-uc  
　　sin3a=3sina-4sin³a Z V_S>: K  
a9G[? @  
　　=4sina(3/4-sin²a) m"[?mUUz^  
rc X%eY!  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] |Zxc[~Y  
K,MdaLkM@@  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) & kv$-!v  
2BM? 7w  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) .LNd :  
efD7^[yFA  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] )sVTg9oAX  
O7=MuVZ  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,*|2#ul  
Z-n1YsB[2  
　　cos3a=4cos³a-3cosa *B`R"w#.  
'j.["u2Y'{  
　　=4cosa(cos²a-3/4) v/$vXnWe  
KON'4I l  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] \i\s1WM(N  
me.f>dA]s  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) hHe=!I  
e78RL,;  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ZMD 1 KQ[4  
P-$}!e  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} |1tcXf1  
3Y%xHL  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) T"@80OQ:  
-sP0vx?Rzw  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ?Io_y8;G  
r |A|t[k  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] *2MxOZ<`  
y*K}Ec7  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) oe $ 5{J  
u-:{MZ^l   
　　上述两式相比可得 V\^w[  
q(9Bz %mf  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 4"%xx+5Wq  
R"^s\4E  
半角公式 iJ*Qgff  
5:O #dsM  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 9M/_\/l  
A,(t~q  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. '-}o]tr%rX  
Q:GIl p_|  
和差化积 {f@JxT&/  
a*1R(I~Xn  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] .y 'd L  
UDs2w{.  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] t~U]X  
VC!D,h"V  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ;t=KQh:/  
j yG+F$&  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] @o7}>Tsd9  
3$!!B  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) )VA!#F@I  
z Oklr'8  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) #_Z^\T  
1aMK)js  
积化和差 w!Mzf  
YDbs` V  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] c |NgH=68  
9LDWvq  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] '6>dZ\]dt  
i<g0|lsZh  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] n%G]E  
4pNyw M  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] (Kc80[r  
Pd':b}s  
诱导公式 *2)Q-l(+  
sFO`oX  
　　sin(-α) = -sinα P%?C=bd_y  
ESLAM^ed  
　　cos(-α) = cosα i)6#PUS6,  
 NC,Z7K  
　　sin(π/2-α) = cosα j2' vz  
0^&ZSXy  
　　cos(π/2-α) = sinα By<LDf`%  
Fgt=oUz/  
　　sin(π/2+α) = cosα |Vf(T0l]  
Db}C%\_  
　　cos(π/2+α) = -sinα !),CG<>  
!`nAX.LQ  
　　sin(π-α) = sinα xbu&<7_  
!%, W#  
　　cos(π-α) = -cosα X=#rKNK7  
!o8N+dNj  
　　sin(π+α) = -sinα Zwa*k}gR{  
BPPic"  
　　cos(π+α) = -cosα *r?< 4(  
E{v7Z5%  
　　tanA= sinA/cosA iLc R$CG  
|^tH~m e  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα |F81b-l  
H\q?p6+M`  
　　tan（π/2－α）＝cotα 8 0&TCY3  
cyZ6s7x  
　　tan（π－α）＝－tanα B, -b!e[w  
|wKzlta8Xa  
　　tan（π＋α）＝tanα BmC_sj?o  
3[W1%h5J  
万能公式 1Wyy|Hm  
Ir{d-`Q*  
　　 SaS&"^"@u  
?&,Eh;7z  
其它公式 tF\;H 5  
\Ep kmIw  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 EKV5:4}59^  
GZL-1<gc:  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 N,;rgBs.9  
j*axok  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 &FD7 Or  
FRocGa` {  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 P ;-Gxf"  
<,tK%|'/  
　　对于任意非直角三角形,总有 zH%)xDAFl  
%oHc( _{">  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Pn7Z#) &  
+a Pr3  
　　证: p2n +QIc n  
+-kKoD4HHl  
　　A+B=π-C %I+aA>R*8  
C,kF+~@G  
　　tan(A+B)=tan(π-C) \CJ[{qIX8L  
xmh\0"^F  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) m{nf  
[7v*\  
　　整理可得 EQ3L6H-fe  
_g'Gu1c  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?xg4 G&  
[fES|OG  
　　得证 -Gt?:{a-  
l2 5@rs  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 C=P sJ={  
L ;DdmH8_  
其他非重点三角函数 eNXV^Ls  
8F~E d'r  
　　csc(a) = 1/sin(a) 34X -f\q  
T}A!W5|  
　　sec(a) = 1/cos(a) }LIu ze_  
$<N# ?0s  
　　 8+-6 nY  
pA%7# xOz  
双曲函数 HyGYCN1   
S<k8#r  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 CM2qmoU  
`EzDv[{:/  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ~VmpQ7OG  
qWu+;1JC  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 'j9 ~fPX*  
1SvVKPT+  
　　公式一： "GQO& @  
>b W]Zc$  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： <q!iQqroWR  
9$q> 1fV  
　　sin（2kπ＋α）= sinα s*svfBQVp  
dmgg8(K K  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ,m}OBf;ZV!  
BM<(8 i  
　　tan（kπ＋α）= tanα Ys4pt~E  
V}Ms^KPy#  
　　cot（kπ＋α）= cotα @R kfpmc  
f1/)Dp?q88  
　　公式二： qQ)m5:6,  
h, Q3=_X#  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： =C#< 1"D  
&pK^EO_b  
　　sin（π＋α）= -sinα Z8v=5/m  
0cvn"9GM  
　　cos（π＋α）= -cosα ^H *I~0h  
Wk8HI)J  
　　tan（π＋α）= tanα qP$wAVhv8  
$Q$g&q>S+  
　　cot（π＋α）= cotα oP04)  
?b'4z M  
　　公式三： $ t'{R$`  
?3XX/>7R  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： N]GQc+" }  
6L# %,t  
　　sin（-α）= -sinα o, L8,~  
_01)k4Z  
　　cos（-α）= cosα M, i@=  
xsV A9J  
　　tan（-α）= -tanα aw_N/  
^`ss\k{}m  
　　cot（-α）= -cotα C_v%~;q j  
]*[~hA  
　　公式四： r(+@,l}  
y80O D{  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： -gY"V Yv'  
i7qa . +  
　　sin（π-α）= sinα -']]C2s  
ZV]d$y 5  
　　cos（π-α）= -cosα U1 floK  
BY10kU8lF  
　　tan（π-α）= -tanα _-Gq<K   
]hbOxs \+  
　　cot（π-α）= -cotα t^ Vd3Y  
?; opy'  
　　公式五： FK|*B[mLJ  
eG]m`3zWEC  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 8/[P^BDZ  
XPU\AE,U&  
　　sin（2π-α）= -sinα {?0 LaY=  
X31_VW.  
　　cos（2π-α）= cosα 2`qX(E 6j  
sywk#iVG  
　　tan（2π-α）= -tanα *V!L'0SQ=  
cF{&SuQH  
　　cot（2π-α）= -cotα s}t D  
- $>x~,P  
　　公式六： viapnO 3  
sY-#+#V^w  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： BQDy=lk'=i  
-h&{N=;  
　　sin（π/2+α）= cosα /)!@{m(^6~  
'FI]c .^  
　　cos（π/2+α）= -sinα yg^]~8e;  
wV 20MB=6=  
　　tan（π/2+α）= -cotα 6N0N"s  
lCki](J>#  
　　cot（π/2+α）= -tanα E]m6s_c(  
2Y iBnW '+  
　　sin（π/2-α）= cosα g~# 00o'8  
wv#kW?  
　　cos（π/2-α）= sinα lev%^  
*xAmVTF&  
　　tan（π/2-α）= cotα &LE<5zQS"  
j ]gn9L(  
　　cot（π/2-α）= tanα qp_!"yZ  
uEiM2, jJ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Ej,MR#aM)-  
hgRSc#M  
　　cos（3π/2+α）= sinα 7. 3%Q7e  
&ffeVf;z-  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 9'iNG=  
@b?,qvIh~  
　　cot（3π/2+α）= -tanα I~T GK~B  
)0J!']j;Kf  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 6v lQF  
-2 o`E68  
　　cos（3π/2-α）= -sinα sp'l4*Zx;  
-plNQ  
　　tan（3π/2-α）= cotα Q7O66$e  
\2,oQ+1{Z  
　　cot（3π/2-α）= tanα P_`!7<4o4  
[(<^;fVq  
　　(以上k∈Z) {N-F)Y?  
>3M~1Oq'F  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 )4 \q  
mseXbo\  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = .O 2e$N  
jnft}py  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } p[5=As6  
%F}EYnam  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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