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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 >{-:BUgM  
U:>PezH)"Y  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 3$=4$|:  
n?C"/N#u  
　　1、三角函数本质： 6Hfn#6 S  
ol?d U M  
　　三角函数的本质来源于定义 cmrAjvY~  
.EZ*5n'  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 a1X+iX"g  
\s dB\p\W  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 qia%>-  
CQMNW|E(,K  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 4s=(S[  
#[6jHCwx  
　　推导： zEY|9i&c  
ES[(5Un7+  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 >V`z6dhg  
V =/=5  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) X*,9q iVA  
nocS|!x*  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 3T`.i*`M  
w`> JO(I$  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <^)t5+`  
& Tn7v@eS  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） mA9)"up7  
Hbt-Oh W.#  
　　[1] uMY,|f y  
Y{? gj Ul  
　　两角和公式 9|!! t0  
Z diT|T>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB nWq^  
6+ (Kx  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  3'MB2w]n$4  
SMB;y  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB \ga_["96  
+<7 oo5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 3Ff}YU&  
%b[Q[@  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) bN4<Z*7  
?@@GEU3C?  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 2-KF:vGH  
*E? XCTC  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  7$HM]dty  
J 92!JSx  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) <IRmf^hv  
~O(/ZeJm  
倍角公式 kJP?p3  
.$kKc&Sw:  
　　Sin2A=2SinA•CosA 9nR85Qd`  
DJPKoD}o  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 n|! x+  
>!)/$9 $  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） =)& R(Y1  
2|7dpX  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 7NSBlH*  
?q%F "/O  
三倍角公式 1NyM2JBw  
4HW:B0rN  
　　 8n@pO*s O  
,"M/CMJN)D  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) TqpbR,gbQ  
c'3@y96  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \Q!x;}c%#  
!fs8(1ee  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) i "s>H[q  
V&6H.,  
三倍角公式推导 ]]$`-)O,  
>U;jAw00^  
　　sin3a [tQ/#IZx?X  
"{DlVI <<  
　　=sin(2a+a) ae&v!ttn  
~e 3Fem kW  
　　=sin2acosa+cos2asina )jF%'&I  
uKrV*>h?J  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ~'jL\lL  
_%xB+MoCL  
　　=3sina-4sin³a A ,CU>r  
kT Q<  
　　cos3a <uJ ^/eO  
#6,O[  
　　=cos(2a+a) o"wp4 Uu  
X]VbTc2  
　　=cos2acosa-sin2asina p}74%_z\  
z]kDGl.]X`  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa (DY{FA:  
 -wvZl  
　　=4cos³a-3cosa @`*U@#PP^/  
tEMF@6FY  
　　sin3a=3sina-4sin³a >acIL L]&  
iDGyg[jt  
　　=4sina(3/4-sin²a) J;!_$\i$  
7a7ey'W  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] oz #q>q"0  
X$ &$. I  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) %(Ny M_x  
< j#Lt3  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) jqC|e Rk@  
O?>#zqBC0I  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] xgNL^`K|  
hqz x+A  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) #eBy2tEV  
J%BpI<N0z  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ]%q%lS3+:  
i'5gM~ J  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ,7)t_N^U  
GkY/Gw+W  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] cT~IMm_  
!1)?Z'0n  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Trt6){hNq  
B}`K&lxb  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ~P[e __S8  
#$>BJ^'UY  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} SFz !h   
kf, K. m7a  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) v@rdNLw  
p~iggw,F  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Q33-  
a+"c<4%  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 9% :R+k  
KD&V#pW  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) NplZnXMv1W  
^aP]H;4+  
　　上述两式相比可得 ?Q?6_$U  
`6ahr\  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 1:^"E#7 6  
/cr'!8T<*  
半角公式 &o nqEV  
<dv3{;"~  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Dcpo|n$3 Y  
t]r>25=_  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Ou) PKB:  
~a5x`B  
和差化积 "kZ:Ke  
O1"%5*M  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]  YA\sxb  
>{PF21  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] \Sucn[ls  
C\cH3[I ~  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +IhaQ./  
=a;KG0v  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] dyS~fX  
R^}` z|  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) |$sZ w]5W  
kxJ pK]2!  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) K2a]_/>-  
jn a4S |  
积化和差 #kZfHi*A6  
qo,> YE  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] +;:$#u #1O  
dd{%=1Yd  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Cz06(fr  
p*0b hm_  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] -A\!z|  
9h"d;(0]J  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] PyU>HdFP(h  
_y46~p*  
诱导公式 v4DyN @Rr  
CqO xn<  
　　sin(-α) = -sinα [,^rg/4*5  
q)B /Bq  
　　cos(-α) = cosα >t-%/fd  
]hey {='  
　　sin(π/2-α) = cosα =`o6^LP  
;=if2msa  
　　cos(π/2-α) = sinα >B0(iq,9)  
. {O6u  
　　sin(π/2+α) = cosα Cx*Jjp  
B4m x  
　　cos(π/2+α) = -sinα {?NFhKA  
mo](gncX!w  
　　sin(π-α) = sinα C:V'L n(  
:uHd(~JQ  
　　cos(π-α) = -cosα G%yXp\p  
+s!_$D:   
　　sin(π+α) = -sinα {;PG>yL]C?  
&u/Pli9  
　　cos(π+α) = -cosα :"-h#7;.J  
q< Pf!MV  
　　tanA= sinA/cosA g;uS=w  
8vNrFoqr  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα @)zW4[<  
ga?&363K$  
　　tan（π/2－α）＝cotα J~g[}1!tV  
dpR&N/MuV0  
　　tan（π－α）＝－tanα Xj^/+ l  
&HR-@+]sE  
　　tan（π＋α）＝tanα 7)|zv  
^0tig {u  
万能公式 '*_;m ?7D  
lk.%-.=DQ  
　　 @Qi:x f  
q_DXyD4^d  
其它公式 ]0_S~  
4 H{.P Dw  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 0=Sq/F,%  
xo?@E)(Y  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 zkw_2TZw  
"jd>Lv:w#1  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 `NnW#c'9  
5~+;#)Swz  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 p+&W# BD  
);05^r [Q  
　　对于任意非直角三角形,总有 &nm gl  
-qfZO&o~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 6et79p\7s  
E}}KHJ+^  
　　证: |2 n* Ebm  
Oz R`N>#i  
　　A+B=π-C Un@6t,zn  
(|v{[$y  
　　tan(A+B)=tan(π-C) %"P1x  
e+_ 9Sv  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) hMfnasqF)  
1'Lh4  
　　整理可得 ;nE~QuC  
V IL}hLRr  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC  *s.i-q  
8&{z ],  
　　得证 LyXvPhe  
,se0 :  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 4T a| XS  
G<a[]8j  
其他非重点三角函数 X3&|ub*  
KU2<3 Fly  
　　csc(a) = 1/sin(a) Z,T^}5^&  
EYP8ZE-8  
　　sec(a) = 1/cos(a) *r2l )\(  
6qyEWd"y,  
　　 [dYyNd  
rN1V^B  
双曲函数 "syLA~1  
+xvf*xPk  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 @9l&.;PM  
~ACe7;j  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ^0oYcvM  
.IZ=?"S  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) "(~d)B  
2GbgRm w  
　　公式一： J $X- =-  
uNDtU hs  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： g &Z?=19DD  
W'*I>rJ$m  
　　sin（2kπ＋α）= sinα boFZn8J  
XT0'!2q.  
　　cos（2kπ＋α）= cosα sEIu"pji8  
BX0T+N+Nn7  
　　tan（kπ＋α）= tanα *aD][wsNQ  
u_t=h2)  
　　cot（kπ＋α）= cotα 9`BOK.  
z?P5O  
　　公式二： "9)AAIA  
-yIe_`6g)  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： b]qW ' d  
Ko&R+~=z  
　　sin（π＋α）= -sinα i*sxXc+  
w%$-Ec v  
　　cos（π＋α）= -cosα =kw"wh  
He;_iND  
　　tan（π＋α）= tanα .1hG=}Q  
aZ6hDl.  
　　cot（π＋α）= cotα +e!uY3C[V  
t#XF H  
　　公式三： N QQ@Or  
W>$h?czFuv  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ^+ t\ !x  
*IsuM`oR!#  
　　sin（-α）= -sinα ifHD tX  
`kp^+  
　　cos（-α）= cosα Ti>;=h  
V\7U3ghg  
　　tan（-α）= -tanα 6>pI)@;/  
#@=bRpr??  
　　cot（-α）= -cotα ~0l$sL  
$F . C  
　　公式四： S'{Jn&Hi/  
->] .h* H  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： B|rD[!}4  
cs >H~ :  
　　sin（π-α）= sinα `4!&5YY(  
pNIwg=c.bu  
　　cos（π-α）= -cosα :[h\4S  
e N ($ R0  
　　tan（π-α）= -tanα b _C|mtP  
l{X,0I#5M  
　　cot（π-α）= -cotα @_bTRp /B  
S:w` Z+z  
　　公式五： w8Ah04A#  
vMg@w!77  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Ol7CLJ+V.  
p3*?e%m>  
　　sin（2π-α）= -sinα pU,R 2lM  
d.c  
　　cos（2π-α）= cosα N 7&^Bj(yA  
l L%f.(Y&q  
　　tan（2π-α）= -tanα i/wE\ybC  
VJbv@Tca  
　　cot（2π-α）= -cotα !M1 R=mK  
}a4XA;XCb  
　　公式六： UyF=g-MP  
 o -*EkB  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： i9#I  
,b^2VY  
　　sin（π/2+α）= cosα H xz,  
:G'$K2Ni#  
　　cos（π/2+α）= -sinα X/z QZM}[R  
2R68";o  
　　tan（π/2+α）= -cotα rLzJbT'.a)  
ofA*]Tavek  
　　cot（π/2+α）= -tanα ]%x`#g+  
Z1\W j{u  
　　sin（π/2-α）= cosα w3{ {T_;  
$!Nsm;N1  
　　cos（π/2-α）= sinα d%mg`iBZ  
%fP.OL{|  
　　tan（π/2-α）= cotα eu9+$}C  
I{GR17_+  
　　cot（π/2-α）= tanα z~V4o[ {  
uCh2>^x`  
　　sin（3π/2+α）= -cosα L|qmCAPi  
bn&RA(?D/  
　　cos（3π/2+α）= sinα [^-V;& $6  
`mA6"6g  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ~]t}L >{  
M]~eW  
　　cot（3π/2+α）= -tanα v +:K75F  
c$[.V  0  
　　sin（3π/2-α）= -cosα '1*5QCL,>  
[\r+?E( j  
　　cos（3π/2-α）= -sinα b@2AE?6  
{@,w?m=`  
　　tan（3π/2-α）= cotα . ro,-Thb  
$rQ` ~DP  
　　cot（3π/2-α）= tanα :C=Nbk  
1&$K3$=2  
　　(以上k∈Z) lQ?v?39D4  
bOa*N67u  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 . $_&Ix8  
5pcG"S.^  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ~v#4/Ygk  
j^51!VV$k  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } [ ->r  
B..7Z(~}  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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